Сотрудники кафедры полимеров и кристаллов сравнили две математические задачи о случайных изменениях

Сотрудник физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова вместе с российскими коллегами обсудил различие между задачей о броуновском случайном блуждании и задачей перечисления случайных траекторий в полимере. Результаты исследования были опубликованы в Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment.

Задача о броуновском случайном блуждании — это математическая модель процесса случайного блуждания — изменений, каждое из которых не зависит от времени и от предыдущих изменений. Этот процесс записывается пошагово. Задача перечисления случайных траекторий еще называется задачей о свободной энергии идеальной полимерной цепи.

Классическая физика полимеров во многом основывается на параллели между этими двумя задачами. Авторы выяснили, что полное совпадение имеется только в том случае, когда пространство, в котором происходит блуждание, геометрически однородно: показатели его физико-химических свойств по высоте и ширине не изменяются. Если в пространстве имеются особые точки, из которых можно пойти в большее число направлений, чем из остальных, то для задачи о перечислении траекторий они начинают работать как энтропийные (определяющие неупорядоченность, неопределенность) ловушки. При этом ученые могут локализировать траектории на этих точках. Для обычных случайных блужданий ничего подобного не происходит.

«В этой работе мы очень подробно рассмотрели такое явление локализации на нескольких типах гиперболических регулярных графов — абстрактных математических объектов, представляющих собой множество вершин графа и набор ребер. В графах при этом была только одна особая точка», — рассказал один из авторов статьи Михаил Тамм, старший научный сотрудник кафедры физики полимеров и кристаллов отделения физики твердого тела физического факультета МГУ.

В ходе работы ученые составили рекуррентные соотношения и нашли их аналитическое решение. Также они провели численное итерирование уравнений и аналитическое вычисление собственных значений больших разреженных матриц.

«С одной стороны, эту работу можно рассматривать как некоторое важное дополнение к нашему пониманию ограниченности параллели полимер — случайное блуждание. С другой стороны, она может иметь существенное значение для быстро развивающейся науки о сложных сетях. Исследование спектральных свойств больших сетей и понимание физического смысла старших собственных значений соответствующих матриц смежности — это очень активно развивающаяся область. В настоящей работе мы показываем возможность возникновения состояний, локализованных вблизи одной вершины, и (для простейшего регулярного случая) указываем количественные условия образования такого связанного состояния», — заключил ученый.